Существование первообразной непрерывной функции

Если $f(x)$ - непрерывна на $[a, b]$, то $\exists{F(x)}\mathpunct{:}~~ F(x)$ - первообразная $f(x)$ на $[a, b]$.

Рассмотрим функцию $F(x) = \int\limits_{a}^{x} f(t) \, dt ~~\forall{x \in [a, b]}$ (Интеграл с переменным верхним пределом) Запишем определение производной: $$\left| \dfrac{F(x + \Delta x) - F(x)}{\Delta x} - f(x)\right| = \left| \dfrac{\int\limits_{a}^{x + \Delta x} f(t) \, dt - \int\limits_{a}^{x} f(t) \, dt}{\Delta x} - f(x) \right|$$ По аддитивности и затем по линейности получаем: $$\left| \dfrac{\int\limits_{x}^{x + \Delta x} f(t) \, dt }{\Delta x} - \dfrac{\int\limits_{x}^{x + \Delta x} f(x) \, dt }{\Delta x} \right| = \left| \dfrac{\int\limits_{x}^{x + \Delta x} (f(t) - f(x)) \, dt }{\Delta x} \right| ~~~~(*)$$ Так как $f(x)$ равномерно непрерывна на $[a, b]$, то: $$\forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\delta}~~ \forall{t, x}\mathpunct{:}~~ |t - x| \leq |\Delta x| < \delta \Rightarrow |f(t) - f(x)| < \varepsilon$$ Тогда: $$(*) < \left| \dfrac{\int\limits_{x}^{x + \Delta x} \varepsilon \, dx }{\Delta x} \right| = \left| \dfrac{\varepsilon \Delta x}{\Delta x} \right| = \varepsilon$$ Значит: $F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{F(x + \Delta x) - F(x)}{\Delta x} = f(x)$ $~~~\square$